[TOC]
整理：选择、Shell、堆、快速排序是不稳定的；直接插入、冒泡、归并排序、桶排序、基数排序是稳定的。
冒泡排序
在要排序的一组数中，对当前还未排好序的范围内的全部数，自上而下对相邻的两个数依次进行比较和调整，让较大的数往下沉，较小的往上冒。即：每当两相邻的数比较后发现它们的排序与排序要求相反时，就将它们互换。
下面是一种改进的冒泡算法，它记录了每一遍扫描后最后下沉数的位置k，这样可以减少外层循环扫描的次数。
冒泡排序是稳定的。时间复杂度O(n^2)。
void bubble_sort(int *x, int n)
{
int last;
for (int i = n-1; i > 0; i = last) { /* 循环到没有比较范围 */
for (int j = 0, k = 0; j < i; ++j) { /* 每次预置k=0，循环扫描后更新k */
if (x[j] > x[j+1]) { /* 大的放在后面，小的放到前面 */
swap(x[j], x[j+1]);
last = j; /* 保存最后下沉的位置。这样k后面的都是排序排好了的。*/
}
}
}
}
选择排序
在要排序的一组数中，选出最小的一个数与第一个位置的数交换；然后在剩下的数当中再找最小的与第二个位置的数交换，如此循环到倒数第二个数和最后一个数比较为止。
选择排序是不稳定的。时间复杂度O(n^2)。
void select_sort(int *x, int n)
{
int min;
for (int i = 0; i < n-1; ++i) { /* 要选择的次数：0~n-2共n-1次 */
min = i; /* 假设当前下标为i的数最小，比较后再调整 */
for (int j= i+1; j < n; ++j) { /* 循环找出最小的数的下标是哪个 */
if (x[j] < x[min]) {
min = j; /* 如果后面的数比前面的小，则记下它的下标 */
}
}
if (min != i) { /* 如果min在循环中改变了，就需要交换数据 */
swap(x[i], x[min]);
}
}
}
直接插入排序
在要排序的一组数中，假设前面(n-1) [n>=2] 个数已经是排好顺序的，现在要把第n个数插到前面的有序数中，使得这n个数也是排好顺序的。如此反复循环，直到全部排好顺序。
直接插入排序是稳定的。时间复杂度O(n^2)。
void insert_sort(int *x, int n)
{
int tmp;
for (int i = 1; i < n; ++i) { /*要选择的次数：1~n-1共n-1次*/
/* 暂存下标为i的数。注意：下标从1开始，原因就是开始时第一个数即下
* 标为0的数，前面没有任何数，单单一个，认为它是排好顺序的。*/
tmp = x[i];
/* 注意：j=i-1，j--，这里就是下标为i的数，在它前面有序列中找插入位置。*/
for (int j = i-1; j >= 0 && t < x[j]; --j) {
/* 如果满足条件就往后挪。最坏的情况就是t比下标为0的数都小，它
* 要放在最前面，j==-1，退出循环*/
x[j+1] = x[j];
}
x[j+1] = tmp; /* 找到下标为i的数的放置位置*/
}
}
shell排序
Shell排序是直接插入排序的改良算法。
在直接插入排序算法中，每次插入一个数，使有序序列只增加1个节点， 并且对插入下一个数没有提供任何帮助。如果比较相隔较远距离（称为增量）的数，使得数移动时能跨过多个元素，则进行一次比较就可能消除多个元素交换。D.L.shell于1959年在以他名字命名的排序算法中实现了这一思想。算法先将要排序的一组数按某个增量d分成若干组，每组中记录的下标相差d.对每组中全部元素进行排序，然后再用一个较小的增量对它进行，在每组中再进行排序。当增量减到1时，整个要排序的数被分成一组，排序完成。
下面的函数是一个Shell排序算法的一个实现，初次取序列的一半为增量，以后每次减半，直到增量为1。
Shell排序是不稳定的。
void shell_sort(int *x, int n)
{
int tmp;
for (int i = n/2; i > 0; i = i/2) { /* 控制增量 */
for (int j = i; j < n; ++j) { /* 这个实际上就是上面的直接插入排序 */
tmp = x[j];
for (int k = j-i; k >= 0 && tmp < x[k]; k-=i) {
x[k+i] = x[k];
}
x[k+i] = tmp;
}
}
}
两路归并排序
递归关系：一个大的数列需要排序，把它从中间分成两部分，每一部分归并排序，然后把排好序的这两个部分再合并起来（合并的时候要按顺序合并）。如果分成的这部分只有一个数，那么这个部分就不用再排序（看做已经排好序的）。
归并排序的关键在于merge函数，两路归并相对简单，需要注意边界处理。1
归并排序是稳定的。时间复杂度是O(nlogn)，空间复杂度O(n)。
void merge(int a[], int b[], int left, int mid, int right)
{
int left_end = mid-1,
n = right - left + 1,
k = left;
while ((left <= left_end) && (mid <= right)) {
if (a[left] <= a[mid]) b[k++] = a[left++];
else b[k++] = a[mid++];
}
while (left <= left_end) b[k++] = a[left++];
while (mid <= right) b[k++] = a[mid++];
// copy back to a[]
while(n-- > 0){
a[right] = b[right];
--right;
}
}
void merge_sort(int a[], int b[], int left, int right)
{
int mid;
if (left < right) {
mid = (right + left) / 2;
merge_sort(a, b, left, mid);
merge_sort(a, b, mid+1, right);
merge(a, b, left, mid+1, right);
}
}
void m_sort(int a[], int array_size)
{
int *b = (int*)malloc(array_size);
merge_sort(a, b, 0, array_size - 1);
free(b);
}
快速排序
快速排序是对冒泡排序的一种本质改进。它的基本思想是通过一趟扫描后，使得排序序列的长度能大幅度地减少。在冒泡排序中，一次扫描只能确保最大数值的数移到正确位置，而待排序序列的长度可能只减少1。快速排序通过一趟扫描，就能确保某个数（以它为基准点）的左边各数都比它小，右边各数都比它大。然后又用同样的方法处理它左右两边的数，直到基准点的左右只有一个元素为止。它是由C.A.R.Hoare于1962年提出的。
显然快速排序可以用递归实现，当然也可以用栈化解递归实现。
快速排序是不稳定的。时间复杂度O(nlogn)，非递减序列会导致O(n^2)。2
快排的主要思想：
- 选择一个基准点（比如最左边的值）
- 使用基准点分割待排序数组，使得左边的值都小于基准点，右边的值都大于或等于基准点
- 对左边和右边的新数组，分别递归这个分割任务
快排的递归实现：
void quick_sort(int* a, int low, int high)
{
int pivot;
if(low < high){
pivot = partition(a, low, high);
quick_sort(a, low, pivot-1);
quick_sort(a, pivot+1, high);
}
}
其中，关键在于 partition 算法，其一是如何选取pivot，其二是如何交换数组元素。
partition 方法1: 两边同时扫描
从数组两边同时扫描：从右边扫描，当遇到比pivot小的元素，则交换到最左边；然后，从左边扫描，遇到比pivot大的元素，则交换到最右边。
int partition(int *x, int low, int high)
{
int l = low;
int r = high;
int pivot = *(x+low); /* 暂存pivot */
/* 从两边同时扫描 */
while (l<r) {
/* 从右边扫描，只要比pivot大仍放在右边 */
while (l<r && x[r]>pivot) --r;
/* 上面的循环退出，即出现比pivot小的数 */
if (l<r) {
x[l] = x[r]; /* 把右边的小点挪到左边 */
++l; /* 右移，跳过已知的小点 */
}
/* 从左边扫描，只要小于等于pivot仍放在左边 */
while (l<r && x[l]<=pivot) ++l;
/* 上面的循环退出，即出现比pivot大的数 */
if (l<r) {
x[r] = x[l]; /* 把左边的大点挪到右边 */
--r; /* 左移，跳过已知的大点 */
}
}
/* 扫描结束后，把pivot放到适当位置 */
x[l] = pivot;
return l;
}
partition 方法2: 快慢双指针
使用两颗指针从左向右遍历，一慢一快。慢指针用于维护已经判断过比pivot小的那些元素，指向它们的末尾；快指针用于遍历数组，当遇到比pivot小的元素时候，交换到慢指针维护的数组里，同时慢指针增1。
int partition(int* a, int low, int high)
{
int pivot, pos;
pos = low;
pivot = a[pos]; /* 使用左边界作为pivot */
for(int i=low+1; i<=high; ++i){ /* 快指针i遍历数组 */
if(a[i] < pivot){
++ pos; /* 慢指针pos维护分割点 */
/* 把小于pivot的值交换到左边，由pos分割 */
if(pos != i) swap(a[pos], a[i]);
}
}
swap(a[low], a[pos]);
return pos; /* 返回pivot新下标 */
}
【注意】这里使用左边界作为pivot，快指针是从low+1开始遍历，最终需要把左边界的pivot交换到合适的位置去。
堆排序
堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。
堆的定义如下：
具有n个元素的序列 h1,h2,…,hn，当且仅当满足 h(i)>=h(2i),h(i)>=h(2i+1) 或 h(i)<=h(2i),h(i)<=h(2i+1) 时称之为堆，其中 i=1,…,n/2。
在这里只讨论满足前者条件的堆，即最大堆。
由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最大项。完全二叉树可以很直观地表示堆的结构。堆顶为根，其它为左子树、右子树。
初始时把要排序的数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树，调整它们的存储顺序，使之成为一个堆，这时堆的根节点的数最大。然后将根节点与堆的最后一个节点交换。然后对前面(n-1)个数重新调整使之成为堆。依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。
从算法描述来看，堆排序需要两个过程，一是建立堆，二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数，二是反复调用渗透函数实现排序的函数。
堆排序是不稳定排序。时间复杂度O(nlogn)。
/*
* 功能：渗透建堆
* 输入：数组名称（也就是数组首地址）、参与建堆元素的个数、从第几个元素开始
*/
void shift(int *x, int n, int pos)
{
int tmp, right;
tmp = x[pos]; /* 暂存开始元素 */
right = 2*pos + 1; /* 右子树元素下标 */
while (right<n) {
/* 判断是否满足堆的条件：满足就继续下一轮比较，否则调整。 */
if (right<n-1 && x[right] < x[right+1]) ++right;
if (tmp < x[right]) { /* 调整 */
x[pos] = x[right];
pos = right; /* 调整后，开始元素也随之调整 */
right = 2*pos + 1;
} else { /* 没有需要调整了，已经是个堆了，退出循环。*/
break;
}
}
x[pos] = tmp; /*开始元素放到它正确位置*/
}
/*
* 功能：堆排序
* 输入：数组名称（也就是数组首地址）、数组中元素个数
*/
void heap_sort(int *x, int n)
{
for (int i=n/2-1; i>=0; --i) {
shift(x,n,i); /* 初始建堆 */
}
for (int j=n-1; j>=1; --j) {
swap(x[0], x[j]);
shift(x,j,0); /* 剩下的数再建堆 */
}
}
桶排序
假设有一组长度为N的待排关键字序列K[1….n]。首先，将这个序列划分成M个的子区间（桶） ；然后，基于某种映射函数 ，将待排序列的关键字k映射到第i个桶中(即桶数组B的下标 i) ，那么该关键字k就作为B[i]中的元素（每个桶B[i]都是一组大小为N/M的序列）；接着，对每个桶B[i]中的所有元素进行比较排序（可以使用快排）；最后，依次枚举输出B[0]….B[M]中的全部内容即是一个有序序列。
例如：待排序列K= {49、 38 、 35、 97 、 76、 73 、 27、 49 }。这些数据全部在1-100之间。因此我们定制10个桶，然后确定映射函数f(k)=k/10。则第一个关键字49将定位到第4个桶中(49/10=4)。依次将所有关键字全部堆入桶中，并在每个非空的桶中进行快速排序。甚至，我们可以定制100个桶，那么一遍扫描后直接就能得到有序序列。
桶排序性能分析
桶排序利用函数的映射关系，减少了几乎所有的比较工作。实际上，桶排序的f(k)值的计算，其作用就相当于快排中的划分，已经把大量数据分割成了基本有序的数据块（桶）。然后只需要对桶中的少量数据做先进的比较排序即可。
对N个关键字进行桶排序的时间复杂度分为两个部分：
- 循环计算每个关键字的桶映射函数，这个时间复杂度是O(N)。
- 利用先进的比较排序算法对每个桶内的所有数据进行排序，其时间复杂度为 ∑ O(Ni*logNi) 。其中Ni 为第i个桶的数据量。
很显然，第(2)部分是桶排序性能好坏的决定因素。尽量减少桶内数据的数量是提高效率的唯一办法（因为基于比较排序的最好平均时间复杂度只能达到O(N*logN)了）。因此，我们需要尽量做到下面两点：
- 映射函数f(k)能够将N个数据平均的分配到M个桶中，这样每个桶就有[N/M]个数据量。
- 尽量的增大桶的数量。极限情况下每个桶只能得到一个数据，这样就完全避开了桶内数据的“比较”排序操作。 当然，做到这一点很不容易，数据量巨大的情况下，f(k)函数会使得桶集合的数量巨大，空间浪费严重。这就是一个时间代价和空间代价的权衡问题了。
对于N个待排数据，M个桶，平均每个桶[N/M]个数据的桶排序平均时间复杂度为：
O(N)+O(M*(N/M)*log(N/M))=O(N+N*(logN-logM))=O(N+N*logN-N*logM)
当N=M时，即极限情况下每个桶只有一个数据时。桶排序的最好效率能够达到O(N)。
总结： 桶排序的平均时间复杂度为线性的O(N+C)，其中C=N*(logN-logM)。如果相对于同样的N，桶数量M越大，其效率越高，最好的时间复杂度达到O(N)。 当然桶排序的空间复杂度 为O(N+M)，如果输入数据非常庞大，而桶的数量也非常多，则空间代价无疑是昂贵的。此外，桶排序是稳定的。
此外，在查找算法中，基于比较的查找算法最好的时间复杂度也是O(logN)。比如，折半查找、平衡二叉树、红黑树等。但是Hash表却有O(C)线性级别的查找效率(不冲突情况下查找效率达到O(1))。可以说，Hash表的思想和桶排序有异曲同工之妙！
基数排序
基数排序是桶排序算法的改进，桶排序是将待排序数据的单一关键字依次进行桶分配，而基数排序是将待排数据中的每组关键字依次进行桶分配。桶排序和基数排序属于“分配式”排序（distribution sort），是通过比较键值的大小，将要排序的元素分配到“桶”（bucket）里，从而达到排序的目的。这基于“比较”的排序有本质区别，后者最好的复杂度也只有O(nlogn)。
基数排序是稳定排序，时间复杂度 O(n)。
示例：
278、109、063、930、589、184、505、269、008、083
我们将每个数值的个位，十位，百位分成三个关键字： 278 -> k1(个位)=8 ，k2(十位)=7 ，k3=(百位)=2。
然后从最低位个位开始(从最次关键字开始)，对所有数据的k1关键字进行桶分配(因为，每个数字都是 0-9的，因此桶大小为10)，再依次输出桶中的数据得到下面的序列。
930、063、083、184、505、278、008、109、589、269
再对上面的序列接着进行针对k2的桶分配，输出序列为：
505、008、109、930、063、269、278、083、184、589
最后针对k3的桶分配，输出序列为：
008、063、083、109、184、269、278、505、589、930
基数排序性能分析：
很明显，基数排序的性能比桶排序要略差。每一次关键字的桶分配都需要O(N)的时间复杂度，而且分配之后得到新的关键字序列又需要O(N)的时间复杂度。假如待排数据可以分为d个关键字，则基数排序的时间复杂度将是O(d*2N) ，当然d要远远小于N，因此基本上还是线性级别的。基数排序的空间复杂度为O(N+M)，其中M为桶的数量。一般来说N»M，因此额外空间需要大概N个左右。
void radix_sort(int x[], int n)
{
int tmp[n][n] = {0};
int order[n] = {0};
int num = 1;
while(num <= n) {
for(int i = 0; i < n; i++) {
int lsd = ((x[i] / num) % n);
tmp[lsd][order[lsd]] = x[i];
order[lsd]++;
}
// 重新排列
int k = 0;
for(i = 0; i < n; i++) {
if(order[i] != 0) {
int j;
for(j = 0; j < order[i]; j++, k++) {
x[k] = tmp[i][j];
}
}
order[i] = 0;
}
num *= n;
}
}
EOF