关联分析是一种非监督学习算法，最早用于从购物数据库中挖掘有意义的联系，所发现的联系可以用强关联规则或者频繁集的形式表示。
令 $I=\brace{i_1,\dots,i_d}$ 是类似购物篮数据中所有项的集合(比如所有商品的集合)，包含0个或多个项的集合称作项集(itemset)，如果一个项集包含 $k$ 项，则称作 k-项集。令 $T=\brace{t_1,\dots,t_N}$ 是所有事务的集合(比如一次购物行为即等同于一个事务)，显然每个事务 $t_i$ 都是一个项集，且是 $I$ 的子集。
事务的宽度定义为事务中出现项的个数。如果项集 $X$ 是事务 $t_j$ 的子集，则称事务 $t_j$ 包括项集 $X$ 。定义项集的支持度计数是包含该项集的事务个数：
\[\sigma(X) = | {t_i | X \subseteq t_i, t_i \in T} |\]关联规则 是形如 $X \to Y$ 的蕴含表达式，其中 $X$ 和 $Y$ 是不想交的项集，即 $X \cap Y = \emptyset$ 。关联规则的强度可以用支持度(support)和置信度(confidence)度量。支持度确定规则可以用于给定数据集的频繁程度，而置信度确定 $Y$ 在包含 $X$ 的事务中出现的频繁程度。支持度和置信度这两种度量形式分别定义如下：
\[s(X \to Y) = \frac{\sigma(X \cup Y)}{N} \\ c(X \to Y) = \frac{\sigma(X \cup Y)}{\sigma(X)}\]其中， $N$ 为所有事务的总数。
关联规则的任务通常能分解为如下两个主要子任务：
- 频繁项集的产生：其目标是发现满足最小支持度阈值的所有项集，这些项集称作频繁项集(frequent itemset)。
- 规则的产生：其目标是从上一步发现的频繁项集中提取所有高置信度的规则，这些规则称作强规则(strong rule)。
Apriori
除了空的项集外，一个包含 $k$ 个项的数据集可能产生 $2^k-1$ 个频繁项集，所以该问题的搜索空间是指数规模的，一般要用一些启发式的算法来降低计算复杂度。Apriori频繁集算法基于如下先验知识：
如果一个项集是频繁的，则它的所有子集一定也是频繁的。反之，如果一个项集是非频繁的，那么它的所有超集一定也是非频繁的。
这种性质称作反单调性(anti-monotone)。因此，一旦发现某个项集是频繁的，则整个包含该项集的超集的搜索空间可以立即被剪枝。
Apriori频繁集算法接受两个参数：最小支持度和数据集。大概算法如下：
- 生成所有候选1-项集列表，扫描事务集合发现所有频繁1-项集(即所有大于最小支持度的1-项集)。
- 用上一次发现的频繁(k-1)-项集列表生成候选k-项集列表，并发现所有频繁k-项集。
- 重复上面的步骤，直到没有新的频繁集产生，算法结束。
除了前件或后件为空集的规则外，每个频繁k-项集能够产生 $2^k-2$ 个关联规则，不过关联规则和频繁集一样也具备反单调性，可基于置信度阈值进行剪枝。
具体实现
这里有一份频繁集挖掘的python实现。
从频繁(k-1)-项集列表生成候选k-项集列表有一些技巧，即只要(k-1)-项集列表的前k-2个项是相同的，则这两个集合可以合并成新的候选k-项集。
def createC1(dataSet):
'''生成所有候选1-项集列表，假设输入数据形如：
dataSet = [[1, 3, 4], [2, 3, 5], [1, 2, 3, 5], [2, 5]]
'''
C1 = []
for transaction in dataSet:
for item in transaction:
if not [item] in C1:
C1.append([item])
C1.sort()
return map(frozenset, C1) # 使用frozenset是因为它可以作为dict的key
def scanD(D, Ck, minSupport):
'''根据最小支持度，扫描事务集合发现所有的频繁k-项集'''
ssCnt = {}
for tid in D:
for can in Ck:
if can.issubset(tid):
if not ssCnt.has_key(can): ssCnt[can]=1
else: ssCnt[can] += 1
numItems = float(len(D))
retList = []
supportData = {}
for key in ssCnt:
support = ssCnt[key]/numItems
if support >= minSupport:
retList.insert(0,key)
supportData[key] = support
return retList, supportData
def aprioriGen(Lk, k):
'''根据频繁k-1项集列表生成候选k-项集列表'''
retList = []
lenLk = len(Lk)
for i in range(lenLk):
for j in range(i+1, lenLk):
L1 = list(Lk[i])[:k-2]; L2 = list(Lk[j])[:k-2]
L1.sort(); L2.sort()
if L1==L2:
retList.append(Lk[i] | Lk[j])
return retList
def apriori(dataSet, minSupport = 0.5):
'''最原始的apriori算法，输出频繁集和相应的支持度(可用于计算关联规则)'''
C1 = createC1(dataSet)
D = map(set, dataSet)
L1, supportData = scanD(D, C1, minSupport)
L = [L1]
k = 2
while (len(L[k-2]) > 0):
Ck = aprioriGen(L[k-2], k)
Lk, supK = scanD(D, Ck, minSupport)
supportData.update(supK)
L.append(Lk)
k += 1
return L, supportData
相应的关联规则挖掘实现如下：
def calcConf(freqSet, H, supportData, brl, minConf):
'''输入 频繁集freqSet
可以出现在规则后件的项列表H
支持度supportData
置信度阈值minConf
满足满足最小置信度阈值的关联规则加入brl
返回 可以作为规则后件的项列表'''
prunedH = []
for conseq in H:
conf = supportData[freqSet]/supportData[freqSet-conseq]
if conf >= minConf:
# print freqSet-conseq,'-->',conseq,'conf:',conf
brl.append((freqSet-conseq, conseq, conf))
prunedH.append(conseq)
return prunedH
def rulesFromConseq(freqSet, H, supportData, brl, minConf):
'''递归扩展关联规则'''
m = len(H[0])
if (len(freqSet) > (m + 1)):
Hmp1 = aprioriGen(H, m+1) # 生成H中项的无重复组合
Hmp1 = calcConf(freqSet, Hmp1, supportData, brl, minConf)
if (len(Hmp1) > 1):
rulesFromConseq(freqSet, Hmp1, supportData, brl, minConf)
def generateRules(L, supportData, minConf=0.7):
'''输入 从apriori方法生成的频繁集和支持度数据
返回 所有强关联规则'''
bigRuleList = []
for i in range(1, len(L)):
for freqSet in L[i]:
H1 = [frozenset([item]) for item in freqSet]
if (i > 1):
rulesFromConseq(freqSet, H1, supportData, bigRuleList, minConf)
else:
calcConf(freqSet, H1, supportData, bigRuleList, minConf)
return bigRuleList
FP-growth
Apriori算法的缺陷在于需要多次扫描事务数据集，通常会带来很高的IO开销。而FP-growth算法只要扫描数据集两次，在大规模数据应用会比标准的Apriori算法快几个数量级，但该算法只能用于发现频繁集，不能用于发现关联规则。
频繁子图
参考
- 数据挖掘导论 Pan-Ning Tan, 6.关联分析：基本概念和算法 7.关联分析：高级概念