概述
DSP中卷积的物理意义就是信号经过系统后在时间上不断叠加的结果，t时刻卷积的值就是t时刻以及t时刻之前信号对系统产生响应值的总和——加权求和。
概率论的角度，举例为 X、Y 两组连续型随机变量，那么令Z＝X＋Y ，当X、Y两组变量独立时，就能推导出卷积公式了，fz=fx*fy的意义就是在于两组变量叠加出来的概率密度，也就是算两信号X、Y混叠起来的时候的响应。
两个一维向量的卷积（可以参考matlab中conv命令）：
可以看出卷积后的向量长度 length(x*y) = length(x)+length(y)-1。二维向量卷积参考命令conv2。
LTI系统
线性时不变（LTI，Linear Time Invariant）系统，是输出不会直接随着时间变化的线性系统：
如果输入信号x(t)产生输出y(t)，那么对于任意时间延迟的输入x(t+d)将得到相同时间延迟的输出y(t+d)。
线性系统满足 齐次性 和 叠加性，输入信号无时不刻不在被系统加成，而不是只加成一次。
实例：复利
卷积的概念在很多地方会用到，例如：微分方程、傅立叶变换及其应用、图像处理、概率论、卷积神经网络。
例一： 评估一个地区工厂化学药剂的污染（工厂会排放化学物质，化学物质又会挥发散去），药剂的残余量是个卷积。 假设t时刻工厂化学药剂的排放量是f(t) mg，被排放的药物在排放后Δt时刻的残留比率是g(Δt) mg/mg；那么在u时刻，对于t时刻排放出来的药物，它们对应的Δt=u-t，于是u时刻化学药剂的总残余量就是∫f(t)g(u-t)dt，这就是卷积了。
例二，连续复利： 假设银行年利率5%，小明每年往银行存100¥，连续复利计算，5年后小明的总收益：
用求和符号来简化这个公式就是：
\[\sum_{t=0}^5 f(t) g(5-t), \quad \mbox{while} f(t)=100, g(5-t)=1.05^{5-t}\]其中，$f(t)$是小明的存钱函数，$g(t)$是存入银行的每一笔钱的复利计算函数。在这里，小明最终得到的钱就是他的存钱函数和复利计算函数的卷积。
推广到连续函数就是卷积公式：
\[\int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{t} f(\tau)(1+5\%)^{t-\tau}d\tau\]更多实例见这里：http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=287179&do=blog&id=425373
卷积公式
卷积和（convolution sum）公式（用星号 $*$ 表示卷积符号）:
\[h(t) = f(t)*g(t) = \sum _{\tau =-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\]一维卷积的时域表示：
\[h(t)=f(t)*g(t) = \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau = \int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )d\tau\]二维卷积：
\[h(x,y)=f*g=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\mu,\nu)g(x-\mu,y-\nu) d\mu d\nu\]多项式相乘 -> 系数卷积
- 反褶：一般多项式都是按x的降幂排列，这里将其中一个多项式的各项按x的升幂排列。
- 平移：将按x的升幂排列的多项式每次向右平移一个项。
- 相乘：垂直对齐的项分别相乘。
- 求和：相乘的各结果相加。
杨辉三角，可以由多次卷积生成（matlab代码）：
>> x = [1, 1]; y = [1, 1];
>> y = conv(x, y)
>> y = conv(x, y)
...
卷积定理
傅立叶变换有一个推论：
\[\mathcal {F}[\alpha f(t) + \beta g(t)] = \alpha F(s) + \beta G(s)\]这个公式意思是，一个时域下的复杂信号函数可以分解成多个简单信号函数的和，然后对各个子信号函数做傅里叶变换并再次求和，就求出了原信号的傅里叶变换。这个事实显然很有用处。
但除了加法之外，还有乘法。这时候有一个问题：是否存在某种新的f(t)和g(t)的结合方式，使得f(t)和g(t)结合后的函数的傅里叶变换结果是F(s)G(s)？
可以推导出卷积在频域的表示：
\[H(s) = G(s)F(s) \\ \mathcal {F}[h(t)] = \mathcal {F}[g(s)] \mathcal {F}[f(s)] \\ \mathcal {F}[(g*f)(s)] = \mathcal {F}[g(s)] \mathcal {F}[f(s)]\]最后的公式，也被叫做卷积定理(Convolution Theorem)。 卷积定理说明，信号f和信号g的卷积的傅里叶变换，等于f、g各自的傅里叶变换的积。
示例：利用卷积计算两个信号的乘积
利用欧拉公式，信号可以分解为类似多项式的形式，如$a_2x^2+a_1x+a_0$，且满足 $x^n=f(n\omega_0)$，则两个信号相乘的结果可以通过卷积计算出来。
假设有两个信号 $f(t)$ 和 $g(t)$，其中，$\omega$ 代表角频率，$t$ 表示时间：
\[f(t) = (\cos2\omega t+ 5\cos\omega t +6) + i(\sin 2\omega t+ 5\sin\omega t) \\ g(t) = (3\cos\omega t+2) + i 3\sin\omega t\]如果按照一般方法直接相乘，会涉及一系列三角函数公式，计算过程非常麻烦。但可以把信号表示成$\sum\left(e^{i\omega}\right)^n$的形式（把信号表示成多项式其实就是傅立叶展开）：
\[f(t) = (e^{i\omega})^2+5(e^{i\omega}) +6 \\ g(t) = 3(e^{i\omega}) + 2\]另 $x=e^{i\omega}$，则
\[f(t) = x^2+5x+5 \\ g(t) = 3x+2 \\ h(t) = (f*g)(t) = (x^2+5x+6)(3x+2)=3x^3+17x^2+28x+12\]最后那一步的系数可以通过卷积计算出来： $[1, 5, 6]*[3,2] = [3,17,28,12]$，再将$x=e^{i\omega}$ 代回去，就得到：
\[h(t) = f(t)g(t) = 3e^{i3\omega} +17e^{i2\omega} +28e^{i\omega}+12\]一个结论：时域信号乘积，相当于频域卷积。
参考
- http://bbs.c114.net/thread-394879-1-1.html#pid4546802